Федор начинал заниматься фигурным катанием в 1994 году. Успешно выступал в качестве одиночника. Входил в состав сборных команд России в сезоне 2007/08. Победитель этапа Кубка России 2006. Занимал 4-е место на Первенстве России по старшему возрасту (2007).

В 2007 году Фёдор Климов перешёл в парное катание к Людмиле Великовой. Сезон 2007/08 выступал с Марией Чащиной, но высоких результатов пара не показала. До февраля 2009 катался с Александрой Малаховой, с которой дважды становился призёром этапов Кубка России.

В феврале 2009 встал в пару с Ксенией Столбовой. Всего через полтора месяца после начала совместных тренировок дуэт стал бронзовым призёром Финала Кубка России 2009. Член сборных команд России с 2009 года. Весной 2013 года пара переехала в Москву - в группу Нины Мозер (СДЮСШОР «Воробьёвы горы»).

Серебряный призёр Чемпионата Европы 2014 (Будапешт, Венгрия). Бронзовый призёр этапов Гран-при Cup of China 2012 и Skate America 2013. Чемпион России 2014 (Сочи). Победитель Всемирной Универсиады 2013 (Тренто, Италия), международных турниров Bavarian Open 2013 (Оберстдорф, Германия) и Warsaw Cup 2013 (Варшава, Польша).

Серебряный (2011; Каннын, Южная Корея) и бронзовый (2010; Гаага, Нидерланды) призёр Чемпионатов мира среди юниоров. Серебряный призёр Финала серии Гран-при среди юниоров 2010 (Пекин, Китай). Двукратный победитель Первенства России среди юниоров (2010, Саранск; 2011, Казань).

Фёдор Климов и Ксения Столбова входили в состав юношеской сборной России ещё выступая в одиночном разряде, что является очень редким явлением!

Посмотрите интервью Федора и Ксении на канале "ВОТ" в программе "Звездный лед", которое состоялось пару лет назад. Но, тем не менее, интересно узнать как сложилась звездная пара:)